HABLAMOS DE SIMETRÍA
[ Cantidad de simetría I Simetría Plana I Cenefas I Mosaicos ]
La simetría es un concepto sencillo al que podemos llegar observando el mundo que nos rodea. Mirando nuestro cuerpo, los reflejos de las cosas, las formas vivas y las inanimadas, las trayectorias y las creaciones artísticas, pronto descubrimos unos principios de repetición que podemos formalizar con unos mínimos conocimientos geométricos. La Geometría nos habla de unos movimientos capaces de generar una gran configuración a partir de unas pequeñas partes: un juego sutil e ingenioso que al crear simetría crea estructura y belleza.
Cuando miramos unas figuras geométricas, planas o espaciales, a simple golpe de vista tenemos la sensación de qué figura es la "más simétrica". ¿Cómo podemos contar la cantidad de simetría de una figura?. Miremos los dibujos de la figura. Son cartulinas de las que hemos recortado, respectivamente, un trapecio irregular, un triángulo equilátero y un círculo. Intentemos calcular de cuántas formas sabríamos volver a poner la figura recortada en un molde de cartón.
El trapecio sólo lo podemos colocar de una manera, el triángulo lo podemos recolocar de 6 formas distintas jugando con tres giros y con el hecho que podemos poner la figura girando de cara, y el círculo tiene infinitas posibilidades de ser colocado. Aquí tenemos la clave de nuestra cuestión inicial: la cantidad de simetría de una figura es igual a la cantidad de formas en las que podemos recolocar esta pieza en la matriz inicial de donde ha sido sacada. Pero esta operación de "recolocar" quiere decir someter la figura a movimientos: girarla o volcarla. Por lo tanto la cantidad de simetría es equivalente a la cantidad de movimientos que podemos provocarle para que la figura se vea como antes de ser transformada, es decir, quede invariante.
Gracias a la cantidad de simetría podemos clasificar las figuras: diremos que dos figuras son igualmente simétricas si tienen la misma cantidad de simetría.
Cuando tenemos figuras planas podemos observar como quedan si las trasladamos, las giramos o las volcamos.
Una traslación mueve puntos en una dirección determinada y a una distancia fija. Todo se conserva, menos la posición.
Un giro hace que respecto a un centro todos los otros puntos se desplacen, según un arco de círculo, un determinado ángulo. Si hacemos una vuelta es como si no hubiéramos hecho nada. Si al hacer media vuelta la figura queda igual diremos que tiene simetría central, y diremos que hay simetría cíclica si la figura sólo queda igual cuando giramos un ángulo divisor de 360º (un tercio de vuelta, un cuarto de vuelta,...).
Una simetría axial consiste en fijar una recta o eje y hacer corresponder a cada punto otro situado idénticamente al primero respecto a esta recta. Una foto de nuestra cara hecha de frente presenta un solo eje de simetría y se dice que tenemos simetría bilateral.
Una figura como el cuadrado tiene 4 ejes de simetría. Las figuras que tienen tantas simetrías axiales como giros que las dejan invariantes se dice que tienen simetría diedral (ver figura).
La simetría axial es la reina de las transformaciones: si hacemos dos simetrías de ejes paralelos aparece una traslación y si los ejes se cruzan aparece un giro. Así, con las simetrías se generan todas las transformaciones. Además, una simetría tiene una virtud muy extraña: cambia la orientación. Pintamos un eje y a la derecha un reloj. Dibujamos su simétrico a la izquierda. Cuando pensamos en cómo se mueven las agujas de reloj originales vemos que las agujas simétricas van al revés, ¡a contratiempo!.
La generación de cenefas ha sido un recurso ornamental artístico frecuentemente utilizado. Toda cenefa se basa en una idea muy simple: la repetición constante de una figura a lo largo de una franja rectangular. Las bellas cenefas egipcias pintadas sobre los muros, las cenefas de cerámica ingeniosamente creadas por los árabes, las cenefas de los talladores de madera sobre papel... son ejemplos que ponen de manifiesto el uso diverso, a lo largo de toda la historia del Arte, de este método ornamental.
Geométricamente se ha demostrado que sólo pueden existir 7 tipos de cenefas planas. Esta limitación se debe a lo siguiente: la cenefa se desarrolla a lo largo de una recta horizontal de acuerdo con el ritmo marcado por una traslación y los otros movimientos que pueden intervenir en la confección son: la simetría respecto a la recta horizontal, simetrías respecto a ejes verticales, giros de 180º alrededor de ciertos puntos de la recta horizontal y reflexiones horizontales seguidas de desplazamiento (Figura 1):
Figura 1
Muestra de cenefas
Cenefas en la Alhambra de Granada
Desde las primeras culturas históricas encontramos ejemplos pintados o solados de mosaicos y no es difícil recordar ciertos tiempos de mosaicos absolutamente característicos de un momento histórico: los techos de las cámaras de las pirámides egipcias, los bellos y minuciosos solados romanos, las cerámicas y los yesos árabes... etc. Describimos ahora los mosaicos más típicos:
Mosaicos regulares: Son los formados por triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares. Es curioso el hecho de que ningún otro polígono regular tenga capacidad de alicatar. En cambio, cualquier triángulo, cuadrilátero o hexágono, por muy irregulares que sean, sí que servirían (ver figura):
Mosaicos semiregulares: son ocho tipos surgidos de combinar dos o más polígonos regulares.
Mosaicos de Escher: fueron ideados por Escher inspirándose en los mosaicos de la Alhambra de Granada. En general están hechos por la repetición de una sola pieza que, a pesar de que tienen una forma extraña e irregular, se autoencaja perfectamente. La idea de Escher fue partir de una pieza triangular, cuadrangular o hexagonal (que se encaja) y transformar esta pieza por el principio de recortar un trozo y volverlo a pegar manteniendo el principio de encaje (ver figuras).
Mosaicos de Escher
Mosaicos no periódicos: si renunciamos a la repetición periódica de un elemento todavía podemos formar mosaicos un poco sorprendentes. Los de Penrose (ver figuras) y de Vogensberg (ver figura) son ejemplos muy chocantes de ellos. Los de Penrose que presentan localmente ciertas simetrías pentagonales son aperiódicos y compuestos mayoritariamente por rombos, y han resultado existir en los casi cristales, hoy de gran importancia por sus propiedades físicas que los hacen útiles en la construcción de elementos de ordenadores. Los de Vogensberg tienen la belleza de un crecimiento de tipo espiral.
Mosaico de Vogensberg Mosaicos de Penrose
